Mathematiker lieben Rätsel. Manche finden sie gar so spannend, dass sie ein Preisgeld in Millionenhöhe auf deren Lösung aussetzen. Mit einer harmlosen Zahlenknobelei aus der Tageszeitung haben diese Rätsel allerdings herzlich wenig zu tun – schon die Formulierung der Probleme bringt einen Nicht-Mathematiker an die Grenzen des Vorstellbaren.
Eines dieser Rätsel ist die Vermutung von Poincaré.Der französische Mathematiker stellte sie im Jahr 1904 auf. Seither bissen sich Mathematiker auf der ganzen Welt ihre Zähne an der Fragestellung aus – erfolglos. Im Jahr 2000 setzte das Clay Mathematics Institute in Cambridge die Vermutung auf die Liste der sieben sogenannten „Millennium-Probleme“ – für die Lösung jedes dieser Probleme ist, neben jeder Menge Ruhm und Ehre, eine Million Dollar Preisgeld ausgelobt.
Die Vermutung von Poincaré fällt in das Gebiet der Topologie.Topologen sind eine seltsame Unterart von Mathematikern. Dinge, die für Normalsterbliche und auch für andere Mathematiker grundverschieden sind – ein Würfel, ein Tennisball und ein Baseballschläger sind für sie eigentlich das gleiche, während zwischen einem Muffin und einem Donut, topologisch gesehen, Welten liegen. Mit solchen Muffins und Donuts beschäftigt sich die Poincaré-Vermutung.
Grob formuliert besagt sie: jede randlose Fläche, die einfach zusammenhängend ist, lässt sich ohne Schneiden und zusammenkleben in eine Kugeloberfläche verformen. „Einfach zusammenhängend“ bedeutet dabei, dass sich ein Gummiband auf der Oberfläche immer zu einem Punkt zusammenziehen lässt – das funktioniert auf einem Ball, aber nicht auf einem Donut, weswegen diese beiden für die Topologen unterschiedlich sind.
Sind Sie soweit gefolgt? Wunderbar. Poincarés Vermutung war jedoch noch etwas weitreichender: während das Beispiel mit der Kugeloberfläche – einem zweidimensionalen Objekt im dreidimensionalen Raum – noch einigermaßen vorstellbar ist, vermutete Poincaré, dass diese Aussage äquivalent für alle Dimensionen gilt. Also auch für die dreidimensionale Oberfläche einer vierdimensionalen Kugel (eine in den vierdimensionalen Raum eingebettete 3-Sphäre, wie die Topologen sagen würden), für die vierdimensionale Oberfläche eine fünfdimensionalen Kugel und so weiter.
Das ist schwer vorstellbar?Eigentlich egal. Denn im Laufe des letzten Jahrhunderts, in dem sich die Mathematiker an der Poincaré-Vermutung abarbeiteten und in kleinen mühsamen Schritten Teilergebnis für Teilergebnis zusammentrugen, erwies sich besonders der dreidimensionale Fall als besonders widerspenstig: dass die Vermutung ab der vierten Dimension gültig ist, bewiesen die amerikanischen Mathematiker Stephen Smale und Michael Freedman bereits im Laufe des letzten Jahrhunderts.
Doch der Beweis für den dreidimensionalen Fall – kurioserweise jener, für man sich zumindest das Problem noch einigermaßen vorstellen kann, wurde erst in diesem Jahrtausend von einem russischen Mathematiker namens Grigori Perelmann vorgelegt.
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Perelmann selbst ist fast ein ebensogrosses Rätsel wie die Poincaré-Vermutung: er lebt zurückgezogen mit seiner Mutter in St. Petersburg, schneidet sich weder Haare, Bart noch Fingernägel und hält kaum Kontakt zu anderen Mathematikern; den Beweis hat er nicht medienwirksam auf einer Konferenz präsentiert, sondern ohne große Vorankündigung im Internet publiziert. Auch das Preisgeld von einer Million Dollar hat er bislang nicht angenommen.
Szpiros Buch erzählt die Geschichte der Vermutung von Poincarés ersten Arbeiten bis hin zu Perelmanns Beweis und dessen Überprüfung durch die Fachwelt.Dabei versucht er, die komplizierten Sachverhalte – insbesondere die Teilprobleme, an denen sich Mathematiker im Laufe der Geschichte versucht haben – auf ein verständliches Niveau zu bringen, was größtenteils auch funktioniert, auch wenn man nicht jedes Teilproblem im Detail nachvollziehen kann. Nebenbei würzt er die Geschichte des Beweises mit Anekdoten aus der mathematisch-akademischen Welt – so abgehoben die Probleme sein mögen, mit denen sich die Topologen beschäftigen, so alltäglich scheinen ihre menschlichen Probleme – Neid, Missgunst, Eitelkeit – zu sein.
Viele hundert Mathematiker haben Teilergebnisse zum Beweis der Poincaré-Vermutung beigetragen.Da den Überblick nicht zu verlieren, fällt schwer. Auch in Szpiros Buch wimmelt es bisweilen nur so von Namen, dass man sich bisweilen im Dickicht verirrt. Anstelle einer akribischen Auflistung jedes einzelnen Teilbeweises hätte man sich da doch teilweise lieber etwas mehr Anschaulichkeit gewünscht. Auch die Frage, wozu die Poincaré-Vermutung in der realen Welt dienlich ist, bleibt in dem Buch weitgehend unbeantwortet, was aber vermutlich daran liegt, dass die Topologie – anders als etwa die Statistik oder die Numerik – generell eher wenig direkten praktischen Nutzen hat.
Nach der Lektüre des Buches, die teils spannend, teils aber auch eher zäh ist, hat man einen guten Einblick in die Topologie und die Poincaré-Vermutung im Speziellen und die Arbeit von Mathematikern im Allgemeinen gewonnen. Übrigens: die anderen sechs Millennium-Probleme sind noch ungelöst. Wenn Sie also nach der Lektüre dieses Buches auf den Geschmack gekommen sind, können Sie sich daran versuchen – wer weiß, vielleicht springt ja eine Million Dollar dabei heraus. Die Fingernägel dürfen Sie sich im Übrigen trotzdem weiterhin gern schneiden.
Nicht für eine Million Dollar
